在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．（1）如图①，求*：BP+BQ...

问题详情：

在▱ABCD中，点P和点Q是直线BD上不重合的两个动点，AP∥CQ，AD=BD．

（1）如图①，求*：BP+BQ=BC；

（2）请直接写出图②，图③中BP、BQ、BC三者之间的数量关系，不需要*；

（3）在（1）和（2）的条件下，若DQ=1，DP=3，则BC=______．

【回答】

*：（1）

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠ADB=∠CBD，

∵AP∥CQ，

∴∠APQ=∠CQB，

∴△ADP≌△CBQ，…………………………2分

∴DP=BQ，

∵AD=BD，AD=BC，

∴BD=BC，

∵BD=BP+DP，

∴BC=BP+BQ；…………………………2分

（2）图②：BQ﹣BP=BC，理由是：…………………………1分

∵AP∥CQ，

∴∠APB=∠CQD，

∵AB∥CD，

∴∠ABD=∠CDB，

∴∠ABP=∠CDQ，

∵AB=CD，

∴△ABP≌△CDQ，

∴BP=DQ，

∴BC=AD=BD=BQ﹣DQ=BQ﹣BP；

图③：BP﹣BQ=BC，理由是：…………………………1分

同理得：△ADP≌△CBQ，

∴PD=BQ，

∴BC=AD=BD=BP﹣PD=BP﹣BQ；

（3）图①，BC=BP+BQ=DQ+PD=1+3=4，

图②，BC=BQ﹣BP=PD﹣DQ=3﹣1=2，

∴BC=2或4．…………………………2分

知识点：平行四边形

题型：解答题