如图所示：△ABC中，CA=CB，点D为AB上一点，∠A=∠PDQ=α．（1）如图1，若点P、Q分别在AC、B...

问题详情：

如图所示：△ABC中，CA=CB，点D为AB上一点，∠A=∠PDQ=α．

（1）如图1，若点P、Q分别在AC、BC上，AD=BD，问：DP与DQ有何数量关系？*你的结论；

（2）如图2，若点P在AC的延长线上，点Q在BC上，AD=BD，则DP与DQ有何数量关系？如图3，若点P、Q分别在AC、CB的延长线上，AD=BD，则DP与DQ有何数量关系？请在图2或图3中任选一个进行*；

（3）如图4，若，作∠PDQ=2a，使点P在AC上，点Q在BC的延长线上，完成图4，判断DP与DQ的数量关系，*你的结论．

【回答】

解：（1）分两种情况：

①当DP⊥AC，DQ⊥BC时，

∵∠A=∠B，∠APD=∠BQD=90°，AD=BD，

∴△ADP≌△BDQ，∴DP=DQ；

②当DP、AC不垂直，DQ、BC不垂直时；

如图1，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由①可得DM=DN；

在四边形CMDN中，∠DMC=∠DNC=90°，∴∠MDN+∠MCN=180°；

又∵∠MCN+2∠A=180°，∴∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；

∴∠PDM=∠QDN=2α﹣∠MDQ，

又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，

∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；

综合上面两种情况，得：当点P、Q分别在AC、BC上，且AD=BD时，DP、DQ的数量关系为：相等．

（2）图2、图3的结论与图1的完全相同，*法一致；以图2为例进行说明：

图2中，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，则DM=DN；

同（1）可得：∠MDN=∠PDQ=2α，则∠PDM=∠QDN=2α﹣∠PDN，

又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，

∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；

图3的*法同上；

所以在图2、图3中，（1）的结论依然成立，即DP、DQ的数量关系为：相等．

（3）DP、DQ的数量关系为：DP=nDQ，理由如下：

如图4，过D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N；

∵∠A=∠B，∠AMD=∠BND=90°，

∴△ADM∽△BDN，

∴，即AD=nBD；

同上可得：∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；

∴∠MDP=∠NDQ=2α+∠NDP，

又∵∠DMP=∠DNQ=90°，

∴△DMP∽△DNQ，得：，即DP=nDQ；

所以在（3）题的条件下，DP、DQ的数量关系为：DP=nDQ．

知识点：相似三角形

题型：综合题