如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且...
问题详情：
如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．
（1）求*：直线CP是⊙O的切线；
（2）若BC=2
，sin∠BCP=
，求点B到AC的距离；
（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．
【回答】
（1）*见解析；（2）4；（3）20．
【分析】
（1）利用直径所对的圆周角为直角，2∠CAN=∠CAB，∠CAB=2∠BCP判断出∠ACP=90°即可；
（2）利用锐角三角函数，即勾股定理即可；
（3）在直角△BCF中，利用勾股定理可以求得CF=2，所以利用平行线分线段成比例分别求得线段PC、PB的长度．则△ACP的周长迎刃可解了．
【详解】
解：（1）∵∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC=90°，
∴∠CAN+∠ACN=90°，2∠BAN=2∠CAN=∠CAB，
∵∠CAB=2∠BCP，
∴∠BCP=∠CAN，
∴∠ACP=∠ACN+∠BCP=∠ACN+∠CAN=90°，
∵点D在⊙O上，
∴直线CP是⊙O的切线；
（2）如图，作BF⊥AC
∵AB=AC，∠ANC=90°，
∴CN=
CB=
，
∵∠BCP=∠CAN，sin∠BCP=
，
∴sin∠CAN=
，
∴
∴AC=5，
∴AB=AC=5，
设AF=x，则CF=5﹣x，
在Rt△ABF中，BF2=AB2﹣AF2=25﹣x2，
在Rt△CBF中，BF2=BC2﹣CF2=2O﹣（5﹣x）2，
∴25﹣x2=2O﹣（5﹣x）2，
∴x=3，
∴BF2=25﹣32=16，
∴BF=4，
即点B到AC的距离为4．
（3）在Rt△BCF中，CF=
∴AF=AC-CF=5-2=3， ∵BF∥CP， ∴
,
， ∴CP=
，BP=
∴△APC的周长是AC+PC+AP=20．
【点睛】
此题是圆的综合题，主要考查了切线的判定和*质，相似三角形的判定和*质，勾股定理，相似三角形的判定和*质，构造出直角三角形Rt△ABF和Rt△CBF是解本题的关键．
知识点：圆的有关*质
题型：解答题
