已知，如图1，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，点E在BC边上，P为边AD上一动点，过点P作PQ⊥PE，交直...

问题详情：

已知，如图1，四边形ABCD，∠D=∠C=90°，点E在BC边上，P为边AD上一动点，过点P作PQ⊥PE，交直线DC于点Q．

（1）当∠PEC=70°时，求∠DPQ；

（2）当∠PEC=4∠DPQ时，求∠APE；

（3）如图3，将△PDQ沿PQ翻折使点D的对应点D′落在BC边上，当∠QD′C=40°时，请直接写出∠PEC的度数，答：　　．

【回答】

【考点】几何变换综合题．

【分析】（1）由直角三角形两锐角互余和平角中挖去直角，余下的角互余∠APE+∠EPF=90°，计算即可；

（2）根据∠PEC=4∠DPQ求出，∠DPQ=18°，再和（1）方法一样计算；

（3）由对折的*质及∠QD′C=40°求出∠DPQ=40°，再和前面方法一样用互余计算即可．

【解答】解：（1）如图，

作PF⊥BC，

∴∠PEF+∠EPF=∠APE+∠EPF=90°，

∵∠EPQ=90°，

∴∠APE+∠DPQ=90°，

∴∠EPF=∠DPQ，

∴∠PEF+∠DPQ=90°，

∵∠PEF=70°，

∴∠DPQ=20°．

（2）由（1）有，∠PEF+∠DPQ=90°，

∵∠PEC=4∠DPQ，

∴∠DPQ=18°，∠PEF=72°，

∵∠PEF+∠APE=90°，

∴∠APE=72°；

（3）∵∠C=∠D=90°，

∴∠QD′C+∠CQD′=90°，

∵∠QD′C=40°，

∴∠CQD′=50°，

由对折有，∠DQP=∠CQD′=50°，

∵∠DPQ+∠DQP=90°，

∴∠DPQ=40°，

由（1）有，∠PEC+∠DPQ=90°，

∴∠PEC=50°．故*为50°．

【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了直角三角形中两锐角互余，折叠的*质，利用两锐角互余是解本题的关键．

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题