定义：如图1，点P，Q把线段AB分割成AP，PQ和QB，若以AP，PQ，QB为边的三角形是一个直角三角形，则称...

问题详情：

定义：如图1，点P，Q把线段AB分割成AP，PQ和QB，若以AP，PQ，QB为边的三角形是一个直角三角形，则称点P，Q是线段AB的勾股分割点。

(1) 已知点P，Q是线段AB的勾股分割点，若AP=3，PQ=5，求BQ的长；（2分）[来源:Z#xx#]

(2)如图2，在正方形ABCD中，M,N分别在BC,CD上，BM=BC，DN=CD，AM,AN分别交BD于点E,F，求*：E,F是线段CD的勾股分割点。（4分）

(3)如图3，P,Q是等腰Rt△ABC斜边AB的勾股分割点，PQ＞BQ，PQ＞AP，求∠PCQ的度数。（4分）

[来源:学科网]

【回答】

（1）当PQ最长时，BQ=4；当BQ最长时，BQ=…………4分

（2）在正方形ABCD中，AB=BC=CD=AD，AD∥BC

∴△ADE∽△MBE

∴

∴

同理

∴

∵

∴E,F是BD的勾股分割点。

（3）把△CBQ绕点C顺时针旋转90°得△ACE，连EP则∠CAE=∠B=45°，AE=BQ

∴∠EAP=90°

∴  即 

∵P,Q是AB的勾股分割点

∴

∴PQ=PE则△QCP≌△ECP（SSS）

∴∠PCQ=∠PCE    而∠PCQ+∠PCE=90°

∴∠PCQ=45°

知识点：勾股定理

题型：解答题