定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称...
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定义:如图1,点M,N把线段AB分割成AM,MN和BN,若以AM,MN,BN为边的三角形是一个直角三角形,则称点M,N是线段AB的勾股分割点
(1)已知点M,N是线段AB的勾股分割点,若AM=3,MN=4求BN的长;
(2)已知点C是线段AB上的一定点,其位置如图2所示,请在BC上画一点D,使C,D是线段AB的勾股分割点(要求尺规作图,保留作图痕迹,画出一种情形即可)
(3)如图3,正方形ABCD中,M,N分别在BC,DC上,且BM≠DN,∠MAN=45°,AM,AN分别交BD于E,F
求*:①E、F是线段BD的勾股分割点;
②△AMN的面积是△AEF面积的两倍.
【回答】
∵点M,N是线段AB的勾股分割点,
∴BM===,
②当BN为最大线段时,
∵点M,N是线段AB的勾股分割点,
∴BN===5,
综上,BN=或5;
(2)作法:①在AB上截取CE=CA;
②作AE的垂直平分线,并截取CF=CA;
③连接BF,并作BF的垂直平分线,交AB于D;[来源:]
点D即为所求;如图2所示.
(3)①如图3中,将△ADF绕点A顺时针*质90°得到△ABH,连接HE.
∵∠DAF+∠BAE=90°﹣∠EAF=45°,∠DAF=∠BAH,
∴∠EAH=∠EAF=45°,
∵EA=EA,AH=AF,
∴△EAH≌△EAF,
∴EF=HE,
∵∠ABH=∠ADF=45°=∠ABD,
∴∠HBE=90°,
在Rt△BHE中,HE2=BH2+BE2,
∵BH=DF,EF=HE,
∵EF2=BE2+DF2,
∴E、F是线段BD的勾股分割点.
②*:如图4中,连接FM,EN.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,∠BDC=∠ADB=45°,
∵∠MAN=45°,
∴∠EAN=∠EDN,∵∠AFE=∠FDN,
∴△AFE∽△DFN,
∴∠AEF=∠DNF, =,
∴=,∵∠AFD=∠EFN,
∴△AFD∽△EFN,
∴∠DAF=∠FEN,
∵∠DAF+∠DNF=90°,
∴∠AEF+∠FEN=90°,
∴∠AEN=90°
∴△AEN是等腰直角三角形,
同理△AFM是等腰直角三角形;
∵△AEN是等腰直角三角形,同理△AFM是等腰直角三角形,
∴AM=AF,AN=AE,
∵S△AMN=AM•AN•sin45°,
S△AEF=AE•AF•sin45°,
∴==2,
∴S△AMN=2S△AEF.
知识点:图形的旋转
题型:综合题