已知函数y=x+1+lnx在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax2+(a+2)x+1的图象也相切,...
问题详情:
已知函数y=x+1+lnx在点A(1,2)处的切线l,若l与二次函数y=ax2+(a+2)x+1的图象也相切,则实数a的取值为( )
A.12 B.8 C.0 D.4
【回答】
D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.
【分析】求出y=x+1+lnx的导数,求得切线的斜率,可得切线方程,再由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,有且只有一切点,进而可联立切线与曲线方程,根据△=0得到a的值.
【解答】解:y=x+1+lnx的导数为y′=1+,
曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线斜率为k=2,
则曲线y=x+1+lnx在x=1处的切线方程为y﹣2=2x﹣2,即y=2x.
由于切线与曲线y=ax2+(a+2)x+1相切,
y=ax2+(a+2)x+1可联立y=2x,
得ax2+ax+1=0,
又a≠0,两线相切有一切点,
所以有△=a2﹣4a=0,
解得a=4.
故选:D.
知识点:导数及其应用
题型:选择题