已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．（1）求*：二次函数的图象与x轴有两个交点；（2）当二...

问题详情：

已知二次函数：y＝ax2+（2a+1）x+2（a＜0）．

（1）求*：二次函数的图象与x轴有两个交点；

（2）当二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数时，求a的值及二次函数的解析式并画出二次函数的图象（不用列表，只要求用其与x轴的两个交点A，B（A在B的左侧），与y轴的交点C及其顶点D这四点画出二次函数的大致图象，同时标出A，B，C，D的位置）；

（3）在（2）的条件下，二次函数的图象上是否存在一点P使∠PCA＝75°？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

【回答】

解：（1）∵y＝ax2+（2a+1）x+2＝（x+2）（ax+1），且a＜0，

∴抛物线与x轴的交点为（﹣2，0）、（﹣，0），

则二次函数的图象与x轴有两个交点；

（2）∵两个交点的横坐标均为整数，且a为负整数，

∴a＝﹣1，

则抛物线与x轴的交点A的坐标为（﹣2，0）、B的坐标为（1，0），

∴抛物线解析式为y＝（x+2）（﹣x+1）

＝﹣x2﹣x+2

＝﹣（x+）2+，

当x＝0时，y＝2，即C（0，2），

函数图象如图1所示：

（3）存在这样的点P，

∵OA＝OC＝2，

∴∠ACO＝45°，

如图2，当点P在直线AC上方时，记直线PC与x轴的交点为E，

∵∠PCA＝75°，

∴∠PCO＝120°，∠OCB＝60°，

则∠OEC＝30°，

∴OE＝＝＝2，

则E（2，0），

求得直线CE解析式为y＝﹣x+2，

联立，

解得或，

∴P（，）；

如图3，当点P在直线AC下方时，记直线PC与x轴的交点为F，

∵∠ACP＝75°，∠ACO＝45°，

∴∠OCF＝30°，

则OF＝OCtan∠OCF＝2×＝，

∴F（，0），

求得直线PC解析式为y＝﹣x+2，

联立，

解得：或，

∴P（﹣1，﹣1），

综上，点P的坐标为（，）或（﹣1，﹣1）．

知识点：各地中考

题型：综合题