若函数f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　...

问题详情：

若函数f（x）=﹣eax（a＞0，b＞0）的图象在x=0处的切线与圆x2+y2=1相切，则a+b的最大值是（　　）

A．4    B．2 C．2    D．

【回答】

D【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】导数的综合应用．

【分析】求函数的导数，求出切线方程根据直线和圆相切得到a，b的关系式，利用换元法即可得到结论．

【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=，

在x=0处的切线斜率k=f′（0）=，

∵f（0）=﹣，∴切点坐标为（0，﹣），

则在x=0处的切线方程为y+=x，

即切线方程为ax+by+1=0，

∵切线与圆x2+y2=1相切，

∴圆心到切线的距离d=，

即a2+b2=1，

∵a＞0，b＞0，

∴设a=sinx，则b=cosx，0＜x＜，

则a+b=sinx+cosx=sin（x），

∵0＜x＜，

∴＜x＜，

即当x=时，a+b取得最大值为，

故选：D

【点评】本题主要考查导数的几何意义，以及直线和圆的位置关系，综合考查了换元法的应用，综合*较强．

知识点：导数及其应用

题型：选择题