已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,其中e是自然对数的底...

问题详情：

已知函数f(x)=(x2+ax+b)ex在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,其中e是自然对数的底数.

(1)求实数a,b的值.

(2)求函数f(x)在区间[-2,3]上的值域.

【回答】

【解析】(1)由f(x)=(x2+ax+b)ex,得f′(x)=[x2+(a+2)x+a+b]ex,

因为函数f(x)在点(0,f(0))处的切线方程是y=-2x+1,

所以即解得a=-3,b=1.

(2)由(1)知f(x)=(x2-3x+1)ex,f′(x)=(x2-x-2)ex=(x+1)(x-2)ex,

令f′(x)=0,得x1=-1或x2=2.f(x)与f′(x)的关系如表:

由上表可知,函数f(x)在区间[-2,3]上的值域是[-e2,e3].

知识点：导数及其应用

题型：解答题