已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,△ADE与△BCF为边长为2的等边三角形,AB=AC=CD=D...

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已知多面体ABC-DEF,四边形BCDE为矩形,△ADE与△BCF为边长为2的等边三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.

(1)*:平面ADE∥平面BCF;

(2)求BD与平面BCF所成角的正弦值.

【回答】

(1)*取BC,DE中点分别为O,O1,连接OA,O1A,OF,O1F.

由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=2,可知△ABC,△DEF为等腰直角三角形,

故OA⊥BC,O1F⊥DE,CD⊥DE,CD⊥DF,故CD⊥平面DEF,平面BCDE⊥平面DEF,所以O1F⊥平面BCDE.

同理OA⊥平面BCDE,

所以O1F∥OA,而O1F=OA,故四边形AOFO1为平行四边形,

所以AO1∥OF,所以AO1∥平面BCF,

又BC∥DE,故DE∥平面BCF,而AO1∩DE=O1,

所以平面ADE∥平面BCF.

(2)解以O为坐标原点,以过O且平行于AC的直线作为x轴,平行于AB的直线作为y轴,OO1为z轴建立空间直角坐标系如图.

则有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),

故=(-2,-2,2),=(-2,-2,0),=(-2,0,2).

设平面BCF的法向量为n=(x,y,z),由n,n得取x=1得y=-1,z=1,

故平面BCF的一个法向量为n=(1,-1,1).

设BD与平面BCF所成角为θ,则

sinθ=|cos<,n>|

=

故BD与平面BCF所成角的正弦值为

知识点：点 直线 平面之间的位置

题型：解答题