阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、...

问题详情：

阅读下面材料，完成（1）﹣（3）题

数学课上，老师出示了这样一道题：如图1，△ABC中，∠BAC＝90°，点D、E在BC上，AD＝AB，AB＝kBD（其中＜k＜1）∠ABC＝∠ACB+∠BAE，∠EAC的平分线与BC相交于点F，BG⊥AF，垂足为G，探究线段BG与AC的数量关系，并*．同学们经过思考后，交流了自已的想法：

小明：“通过观察和度量，发现∠BAE与∠DAC相等．”

小伟：“通过构造全等三角形，经过进一步推理，可以得到线段BG与AC的数量关系．”

……

老师：“保留原题条件，延长图1中的BG，与AC相交于点H（如图2），可以求出的值．”

（1）求*：∠BAE＝∠DAC；

（2）探究线段BG与AC的数量关系（用含k的代数式表示），并*；

（3）直接写出的值（用含k的代数式表示）．

【回答】

*：（1）∵AB＝AD

∴∠ABD＝∠ADB

∵∠ADB＝∠ACB+∠DAC，∠ABD＝∠ABC＝∠ACB+∠BAE

∴∠BAE＝∠DAC

（2）设∠DAC＝α＝∠BAE，∠C＝β

∴∠ABC＝∠ADB＝α+β

∵∠ABC+∠C＝α+β+β＝α+2β＝90°，∠BAE+∠EAC＝90°＝α+∠EAC

∴∠EAC＝2β

∵AF平分∠EAC

∴∠FAC＝∠EAF＝β

∴∠FAC＝∠C，∠ABE＝∠BAF＝α+β

∴AF＝FC，AF＝BF

∴AF＝BC＝BF

∵∠ABE＝∠BAF，∠BGA＝∠BAC＝90°

∴△ABG∽△BCA

∴

∵∠ABE＝∠BAF，∠ABE＝∠AFB

∴△ABF∽△BAD

∴，且AB＝kBD，AF＝BC＝BF

∴k＝，即

∴

（3）∵∠ABE＝∠BAF，∠BAC＝∠AGB＝90°

∴∠ABH＝∠C，且∠BAC＝∠BAC

∴△ABH∽△ACB

∴

∴AB2＝AC×AH

设BD＝m，AB＝km，

∵

∴BC＝2k2m

∴AC＝＝km

∴AB2＝AC×AH

（km）2＝km×AH

∴AH＝

∴HC＝AC﹣AH＝km﹣＝

∴

知识点：各地中考

题型：解答题