在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,如图,则下列说法正...
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在数学活动课上,小明提出这样一个问题:∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,如图,则下列说法正确的有几个,大家一起热烈地讨论交流,小英第一个得出正确*,是( )
(1)AE平分∠DAB;
(2)△EBA≌△DCE;
(3)AB+CD=AD;
(4)AE⊥DE;
(5)AB∥CD.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【回答】
D
【考点】全等三角形的判定与*质;平行线的*质.
【分析】此题可以通过作辅助线来得解,取AD的中点F,连接EF.根据平行线的*质可*得(1)(4)(5),根据梯形中位线定理可*得(3)正确.根据全等三角形全等的判定可*得(2)的正误,即可得解.
【解答】解:如图:取AD的中点F,连接EF.
∵∠B=∠C=90°,
∴AB∥CD;[结论(5)]
∵E是BC的中点,F是AD的中点,
∴EF∥AB∥CD,2EF=AB+CD(梯形中位线定理)①;
∴∠CDE=∠DEF(两直线平等,内错角相等),
∵DE平分∠ADC,
∴∠CDE=∠FDE=∠DEF,
∴DF=EF;
∵F是AD的中点,∴DF=AF,
∴AF=DF=EF②,
由①得AF+DF=AB+CD,即AD=AB+CD;[结论(3)]
由②得∠FAE=∠FEA,
由AB∥EF可得∠EAB=∠FEA,
∴∠FAE=∠EAB,即EA平分∠DAB;[结论(1)]
由结论(1)和DE平分∠ADC,且DC∥AB,可得∠EDA+∠DAE=90°,则∠DEA=90°,即AE⊥DE;[结论(4)].
由以上结论及三角形全等的判定方法,无法*△EBA≌△DCE.
正确的结论有4个,故选D.
【点评】本题考查了平行线的判定及*质、梯形中位线定理、等腰三角形的*质、全等三角形的判定等知识点,是一道难度较大的综合题型.
知识点:三角形全等的判定
题型:选择题