阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB...

问题详情：

阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：

如图1，△ABC中，∠ACB=90°，点D在AB上，且∠BAC=2∠DCB，求*：AC=AD．

小明发现，除了直接用角度计算的方法外，还可以用下面两种方法：

方法1：如图2，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．

方法2：如图3，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．

（1）根据阅读材料，任选一种方法，*AC=AD．

用学过的知识或参考小明的方法，解决下面的问题：

（2）如图4，△ABC中，点D在AB上，点E在BC上，且∠BDE=2∠ABC，点F在BD上，且∠AFE=∠BAC，延长DC、FE，相交于点G，且∠DGF=∠BDE．

①在图中找出与∠DEF相等的角，并加以*；

②若AB=kDF，猜想线段DE与DB的数量关系，并*你的猜想．

【回答】

解：（1）方法一：如图2中，作AE平分∠CAB，与CD相交于点E．

∵∠CAE=∠DAE，∠CAB=2∠DCB，∴∠CAE=∠CDB．

∵∠CDB+∠ACD=90°，∴∠CAE+∠ACD=90°，∴∠AEC=90°．

∵AE=AE，∠AEC=∠AED=90°，∴△AEC≌△AED，∴AC=AD．

方法二：如图3中，作∠DCF=∠DCB，与AB相交于点F．

∵∠DCF=∠DCB，∠A=2∠DCB，∴∠A=∠BCF．

∵∠BCF+∠ACF=90°，∴∠A+∠ACF=90°，∴∠AFC=90°．

∵∠ACF+∠BCF=90°，∠BCF+∠B=90°，∴∠ACF=∠B．

∵∠ADC=∠DCB+∠B=∠DCF+∠ACF=∠ACD，∴AC=AD．

（2）①如图4中，结论：∠DEF=∠FDG．

理由：在△DEF中，∵∠DEF+∠EFD+∠EDF=180°．在△DFG中，∵∠GFD+∠G+∠FDG=180°．

∵∠EFD=∠GFD，∠G=∠EDF，∴∠DEF=∠FDG．

②结论：BD=k•DE．

理由：如图4中，如图延长AC到K，使得∠CBK=∠ABC．

∵∠ABK=2∠ABC，∠EDF=2∠ABC，∴∠EDF=∠ABK．

∵∠DFE=∠A，∴△DFE∽△BAK，∴ ==，∴BK=k•DE，∴∠AKB=∠DEF=∠FDG．

∵BC=BC，∠CBD=∠CBK，∴△BCD≌△BCK，∴BD=BK，∴BD=k•DE

知识点：各地中考

题型：解答题