(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB.求*:CA+AD=BC.小明...
问题详情:
(1)如图1,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,CD平分∠ACB.
求*:CA+AD=BC.
小明为解决上面的问题作了如下思考:作△ADC关于直线CD的对称图形△A′DC,
∵CD平分∠ACB,∴A′点落在CB上,且CA′=CA,A′D=AD.因此,要*的问题转化为只要*A′D=A′B.请根据小明的思考写出该问题完整的*过程.
(2)参照(1)中小明的思考方法,解答下列问题:
如图3,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,BC=CD=10,AC=17,AD=9,求AB的长.
【回答】
(1)*:作△ADC关于CD的对称图形△A′DC,
∴A′D=AD,C A′=CA,∠CA′D=∠A=60°,
∵CD平分∠ACB,
∴A′点落在CB上
∵∠ACB=90°,
∴∠B=90°﹣∠A=30°,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=45°
在△ACD中,∠ADC=180°﹣∠A﹣∠A CD=75°
∴∠A′DC=∠ADC=75°,
∴∠A′DB=180°﹣∠ADC﹣∠A′DC=30°,
∴∠A′DB=∠B,∴A′D=A′B,
∴CA+AD=CA′+A′D=C A′+A′B=CB.
(2)如图,作△ADC关于AC的对称图形△A′DC.
∴D′A=DA=9,D′C=DC=10,
∵AC平分∠BAD,∴D′点落在AB上,
∵BC=10,∴D′C=BC,
过点C作CE⊥AB于点E,则D′E=BE.
设D′E=BE=x.
在Rt△CEB中,CE2=CB2﹣BE2=102﹣x2,
在Rt△CEA中,CE2=AC2﹣AE2=172﹣(9+x)2.
∴102﹣x2=172﹣(9+x)2,
解得:x=6,
∴AB=AD′+D′E+EB=9+6+6=21.
知识点:轴对称
题型:解答题