如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．（1...

问题详情：

如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，P为△ABC内部一点，且∠APB＝∠BPC＝135°．

（1）求*：△PAB∽△PBC；

（2）求*：PA＝2PC；

（3）若点P到三角形的边AB，BC，CA的距离分别为h1，h2，h3，求*h12＝h2•h3．

【回答】

【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，AB＝BC，

∴∠ABC＝45°＝∠PBA+∠PBC

又∠APB＝135°，

∴∠PAB+∠PBA＝45°

∴∠PBC＝∠PAB

又∵∠APB＝∠BPC＝135°，

∴△PAB∽△PBC

（2）∵△PAB∽△PBC

∴

在Rt△ABC中，AB＝AC，

∴

∴

∴PA＝2PC

（3）如图，过点P作PD⊥BC，PE⊥AC交BC、AC于点D，E，

∴PF＝h1，PD＝h2，PE＝h3，

∵∠CPB+∠APB＝135°+135°＝270°

∴∠APC＝90°，

∴∠EAP+∠ACP＝90°，

又∵∠ACB＝∠ACP+∠PCD＝90°

∴∠EAP＝∠PCD，

∴Rt△AEP∽Rt△CDP，

∴，即，

∴h3＝2h2

∵△PAB∽△PBC，

∴，

∴

∴．

即：h12＝h2•h3．

知识点：各地中考

题型：解答题