已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-错误！未找到引用源。与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及...

问题详情：

已知函数f(x)=x3+ax2+bx+c在x=-错误！未找到引用源。与x=1处都取得极值.(1)求a,b的值及函数f(x)的单调区间;

(2)若对于x∈[-1,2],不等式f(x)<c2恒成立,求c的取值范围.

【回答】

∵f(x)=x3+ax2+bx+c,∴f'(x)=3x2+2ax+b.

又∵f(x)在x=-错误！未找到引用源。与x=1处都取得极值,

∴f'错误！未找到引用源。a+b=0,f'(1)=3+2a+b=0,

两式联立解得a=-错误！未找到引用源。,b=-2,

∴f(x)=x3-错误！未找到引用源。x2-2x+c,

f'(x)=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),

令f'(x)=0,得x1=-错误！未找到引用源。,x2=1,

当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

∴函数f(x)的递增区间为错误！未找到引用源。与(1,+∞);

递减区间为错误！未找到引用源。.

(2)f(x)=x3-错误！未找到引用源。x2-2x+c,x∈[-1,2],

当x=-错误！未找到引用源。时,f错误！未找到引用源。+c为极大值,而f(2)=2+c,则f(2)=2+c为最大值,

要使f(x)<c2(x∈[-1,2])恒成立,只需c2>f(2)=2+c,解得c<-1或c>2.

∴c的取值范围为(-∞,-1)∪(2,+∞).

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题