.如图,过原点的直线与反比例函数y=(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限点C在x轴正半轴上,连...
问题详情:
.如图,过原点的直线与反比例函数y= (k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限点C在x轴正半轴上,连结AC交反比例函数图象于点为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连结DE.若AC=3DC,△ADE的面积为8,则k的值为________.
【回答】
6
【考点】反比例函数系数k的几何意义,平行线的判定与*质,三角形的面积,直角三角形斜边上的中线,相似三角形的判定与*质
【解析】【解答】解:连接OE,OD,过点A作AN⊥x轴于点N,过点D作DM⊥x轴于点M,
根据正比例函数与反比例函数的对称*得出OA=OB,
∵BE⊥AE,∴∠AEB=90°,
在Rt△ABE中,∵AO=BO,
∴OE=OA,
∴∠OEA =∠OAE,
∵AE平分∠BAC,
∴∠OAE=∠CAE,
∴∠CAE=∠OEA,
∴OE∥AC,
∴△ADO的面积=△ADE的面积,
∵△ADO的面积=梯形ADMN的面积,
∴梯形ADMN的面积=8,
∵AN⊥x轴,DM⊥x轴,
∴AN∥DM,
∴△CDM∽△CAN,
∴DM∶AN=CD∶AC=1∶3,
∴设DM为a,则AN=3a,
∴A( ,3a),D( ,a)
∴ON= ,OM= ,MN=OM-ON= ;
∵梯形ADMN的面积=(a+3a) ·MN× =8,
∴k=6.
故*为:6
【分析】连接OE,OD,过点A作AN⊥x轴于点N,过点D作DM⊥x轴于点M,根据正比例函数与反比例函数的对称*得出OA=OB,根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出OE=OA,根据等边对等角及角平分线的定义得出∠CAE=∠OEA, 根据内错角相等二直线平行得出OE∥AC, 根据同底等高的三角形的面积相等得出△ADO的面积=△ADE的面积,根据反比例函数k的几何意义及割补法得出△ADO的面积=梯形ADMN的面积,从而得出梯形ADMN的面积=8,根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AN∥DM, 根据平行于三角形一边的直线截其它两边,所截的三角形与原三角形相似得出△CDM∽△CAN, 根据相似三角形对应边成比例得出DM∶AN=CD∶AC=1∶3,设DM为a,则AN=3a,进而表示出A,D两点的坐标,得出ON,OM,MN的长,再根据梯形的面积计算方法建立方程,求解即可。
知识点:各地中考
题型:填空题