数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝S3.(1)求...

问题详情：

数列{an}的前n项和为Sn，且an是Sn和1的等差中项，等差数列{bn}满足b1＝a1，b4＝S3.

(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；

(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，*：≤Tn＜.

【回答】

 (1)解：∵an是Sn和1的等差中项，∴Sn＝2an－1………………1分

当n＝1时，a1＝S1＝2a1－1，∴a1＝1；…………………….2分

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－1)－(2an－1－1)＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，即＝2，

∴数列{an}是以a1＝1为首项，2为公比的等比数列，

∴an＝2n－1，……………………………………………………4分

设{bn}的公差为d，b1＝a1＝1，b4＝a1+a2=a3=1＋3d＝7，∴d＝2，

∴bn＝1＋(n－1)×2＝2n－1…………………………6分

(2)*：cn＝＝

＝，………………………………..7分

∴Tn＝

＝＝，………………………………..9分

∵n∈N*，∴Tn＝＜…………………..10分

Tn－Tn－1＝－＝＞0，

∴数列{Tn}是一个递增数列，∴Tn≥T1＝…………………11分

综上所述，≤Tn＜………………………………………12分

知识点：数列

题型：解答题