已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+a3、S5+a5,S4+a4成等差...
问题详情:
已知正项等比数列{an}(n∈N*),首项a1=3,前n项和为Sn,且S3+aS5+a5,S4+a4成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)数列{nan}的前n项和为Tn,若对任意正整数n,都有Tn∈[a,b],求b-a的最小值.
【回答】
(1)an=3×()n-1.(2)9.
试题解析:(1)设等比数列{an}的公比为q,
∵S3+aS5+aS4+a4成等差数列,
∴有2(S5+a5)=(S3+a3)+(S4+a4)
即2(a1+a2+a3+a4+2a5)=(a1+a2+2a3)+(a1+a2+a3+2a4),
化简得4a5=a3,从而4q2=1,解得q=±,
∵an>0,∴q=,得an=3×()n-1.
(2)由(1)知,nan=3n×()n-1,Tn=3×1+3×2×()+3×3×()2+…+3n()n-1;
Tn=3×1×()+3×2×()2+…+3(n-1)×()n-1+3n()n
两式相减得:Tn=3×1+3×()+3×()2+…+3×()n-1-3n()n
=3×-3n()n=6-,
∴Tn=12-<12.
又nan=3n×()n-1>0,∴{Tn}单调递增,
∴(Tn)min=T1=3,故有3≤Tn<12.
∵对任意正整数n,都有Tn∈[a,b],
∴a≤3,b≥12.
即a的最大值为3,b的最小值为12.
故(b-a)min=12-3=9.
知识点:数列
题型:解答题