定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的...
问题详情:
定义在D上的函数f(x)如果满足:对任意x∈D,存在常数M≥0,都有|f(x)|≤M成立,则称f(x)是D上的有界函数,其中M称为函数f(x)的一个上界.已知函数,.
(1)求函数f(x)在区间上的所有上界构成的*;
(2)若函数g(x)在[0,+∞)上是以7为上界的有界函数,求实数a的取值范围.
【回答】
【解析】
(1)首先求出函数在区间的单调*,再根据单调*即可求出函数的值域,从而求出函数在区间上的所有上界构成的*.
(2)将问题转化为在上恒成立,通过换元法求出相应的最值即可求出的取值范围.
【详解】(1),
由复合函数的单调*法则易知,函数在上单调递减,
∴函数在区间上单调递减,
∴函数在区间上的值域为,
∴,
∴函数在区间上所有上界构成的*为.
(2)由题意知,在上恒成立,即,
则,
∴在上恒成立,
设, ,.
易知,在上为增函数,故,
由知,当时,,为减函数,
故,
综上,实数的取值范围为.
【点睛】本题主要考查了函数的新定义问题,同时考查了函数的单调*和函数的值域问题,换元法求函数的值域为解题的关键,属于难题.
知识点:基本初等函数I
题型:解答题