对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：①f（x）在[m，n]上是单调函数；②...

问题详情：

对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足：

①f（x）在[m，n]上是单调函数；

②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．

则称[m，n]是该函数的“等域区间”．

（1）求*：函数不存在“等域区间”；

（2）已知函数（a∈R，a≠0）有“等域区间”[m，n]，求实数a的取值范围．

【回答】

（1）*：设[m，n]是已知函数定义域的子集．

∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0），或[m，n]⊆（0，+∞），

故函数在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则

故m、n是方程的同号的相异实数根．

∵x2﹣3x+5=0无实数根，

∴函数不存在“等域区间”．（6分）

（2）设[m，n]是已知函数定义域的子集，

∵x≠0，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞），

故函数在[m，n]上单调递增．

若[m，n]是已知函数的“等域区间”，则

故m、n是方程，即a2x2﹣（2a+2）x+1=0的同号的相异实数根．

∵，∴m，n同号，故只需△=（﹣（2a+2））2﹣4a2=8a+4＞0，

解得，

∴实数a的取值范围为

知识点：*与函数的概念

题型：解答题