若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a﹣x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称....
问题详情:
若函数f(x)对定义域中任意x均满足f(x)+f(2a﹣x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称.
(1)已知函数f(x)=的图象关于点(0,1)对称,求实数m的值;
(2)已知函数g(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,且当x∈(0,+∞)时,g(x)=x2+ax+1,求函数g(x)在(﹣∞,0)上的解析式;
(3)在(1)、(2)的条件下,若对实数x<0及t>0,恒有g(x)<f(t)成立,求实数a的取值范围.
【回答】
解:(1)因为函数f(x)的图象关于点(0,1)对称,
∴f(x)+f(﹣x)=2,
即,
所以2m=2,
∴m=1.
(2)因为函数g(x)在(﹣∞,0)∪(0,+∞)上的图象关于点(0,1)对称,
则g(x)+g(﹣x)=2,
∴g(x)=2﹣g(﹣x),
∴当x<0时,则﹣x>0,
∴g(﹣x)=x2﹣ax+1,
∴g(x)=2﹣g(﹣x)=﹣x2+ax+1;
(3)由(1)知,,
∴f(t)min=3,
又当x<0时,g(x)=﹣x2+ax+1
∴g(x)=﹣x2+ax+1<3,
∴ax<2+x2又x<0,
∴,
∴.
知识点:函数的应用
题型:解答题