在平面直角坐标,直线l:y=x﹣3经过椭圆E:(a>b>0)的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2.(1...
问题详情:
在平面直角坐标,直线l:y=x﹣3经过椭圆E:(a>b>0)的一个焦点,且点(0,b)到直线l的距离为2.
(1)求椭圆E的方程;
(2)A、B、C是椭圆上的三个动点A与B关于原点对称,且|AC|=|CB|.问△ABC的面积是否存在最小值?若存在,求此时点C的坐标;若不存在,说明理由.
【回答】
【考点】KH:直线与圆锥曲线的综合问题.
【分析】(1)先求出c,再利用点(0,b)到直线l的距离为2,求出b,从而可求a,即可得出椭圆E的方程;
(2)分类讨论,直线AB的斜率存在且不为0时,设AB:y=kx,代入椭圆方程,求出A的坐标,同理求出C的坐标,表示出面积,利用基本不等式,即可得出结论.
【解答】解:(1)对于直线l:y=x﹣3,令y=0,可得x=,
∴焦点为(,0),
∴c=,
∵点(0,b)到直线l的距离为2,
∴=2,
∵b>0,
∴b=1,
∴a=2,
∴椭圆E的方程;
(2)①当AB为长轴(或短轴)时,由题意,C是椭圆的上下顶点(或左右顶点),;
②当直线AB的斜率存在且不为0时,设AB:y=kx,代入椭圆方程,可得,
∵|AC|=|CB|,O为AB的中点,
∴OC⊥AB,
∴直线OC的方程为y=﹣,
同理可得,
∴,,
∴S△ABC=2S△OAC=|OA||OC|=≥=,
当且仅当1+4k2=4+k2,即k=±1时取等号,
∴k=±1时,△ABC的面积最小值,
此时,C(,±)或C(﹣,±).
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题