图，在平面直坐标系中，已知椭圆，经过点，其中e为椭圆的离心率．且椭圆与直线有且只有一个交点。（Ⅰ）求椭圆的方程...
问题详情：
图，在平面直坐标系
中，已知椭圆
，经过点
，其中e为椭圆的离心率．且椭圆
与直线
有且只有一个交点。
（Ⅰ）求椭圆
的方程；
（Ⅱ）设不经过原点的直线
与椭圆
相交与A，B两点，第一象限内的点
在椭圆上，直线
平分线段
，求：当
的面积取得最大值时直线
的方程。
【回答】
解：（Ⅰ）∵椭圆经过点
，∴
又
，
∴
，∴
∴椭圆的方程为
…………………………………………2分
又∵椭圆
与直线
有且只有一个交点
∴方程
即
有相等实根
∴
∴
∴椭圆的方程为
………………………………………………5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知椭圆的方程为
故
设不经过原点的直线
的方程
交椭圆
于
由
得
……………………………6分
∴
………………7分
直线
方程为
且
平分线段
∴
=
解得 
……………………………………………8分
∴
又∵点
到直线
的距离
∴
…………………………………………9分
设
由直线
与椭圆
相交于A，B两点可得
求导可得
，此时
取得最大值
此时直线
的方程
……………………………………………12分
知识点：圆锥曲线与方程
题型：解答题
