已知，在等边△ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△...

问题详情：

已知，在等边△ABC中，AB=2，D，E分别是AB，BC的中点（如图1）．若将△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，设旋转角为α（0°＜α＜180°），记*线CE1与AD1的交点为P．

（1）判断△BDE的形状；

（2）在图2中补全图形，

①猜想在旋转过程中，线段CE1与AD1的数量关系并*；

②求∠APC的度数；

（3）点P到BC所在直线的距离的最大值为　　．（直接填写结果）

【回答】

【考点】作图-旋转变换．

【分析】（1）由D，E分别是AB，BC的中点得到DE=BC，BD=BA，加上△ABC为等边三角形，则∠B=60°，BA=BC，所以BD=BE，于是可判断△BDE为等边三角形；

（2）①根据旋转的*质得△BD1E1为等边三角形，则BD1=BE1，∠D1BE1=60°，而∠ABC=60°，所以∠ABD1=∠CBE1，则路旋转的定义，△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，然后根据旋转的*质得CE1=AD1；

②由于△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到∠BAD1=∠BCE1，然后根据三角形内角和定理和得∠APC=∠ABC=60°；、

（3）由于∠APC=∠D1BE1=60°，则可判断点P、D1、B、E1共圆，于是可判断当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，然后利用含30度的直角三角形三边的关系可得点P到BC所在直线的距离的最大值．

【解答】解：（1）∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴DE=BC，BD=BA，

∵△ABC为等边三角形，

∴∠B=60°，BA=BC，

∴BD=BE，

∴△BDE为等边三角形；

（2）①CE1=AD1．理由如下：

∵△BDE绕点B逆时针旋转，得到△BD1E1，

∴△BD1E1为等边三角形，

∴BD1=BE1，∠D1BE1=60°，

而∠ABC=60°，

∴∠ABD1=∠CBE1，

∴△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，

∴CE1=AD1；

②∵△ABD1可由△CBE1绕点B逆时针旋转得到，

∴∠BAD1=∠BCE1，

∴∠APC=∠ABC=60°；

（3）∵∠APC=∠D1BE1=60°，

∴点P、D1、B、E1共圆，

∴当BP⊥BC时，点P到BC所在直线的距离的最大值，此时点E1在AB上，

在Rt△PBC中，PB=AB=×2=2，

∴点P到BC所在直线的距离的最大值为2．

故*为2．

【点评】本题考查了作图﹣旋转变换：根据旋转的*质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了等边三角形的*质．

知识点：图形的旋转

题型：解答题