如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线...
问题详情:
如图,已知直线l与⊙O相离,OA⊥l于点A,OA=5,OA与⊙O相交于点P,AB与⊙O相切于点B,BP的延长线交直线l于点C.
(1)试判断线段AB与AC的数量关系,并说明理由;
(2)若在⊙O上存在点Q,使△QAC是以AC为底边的等腰三角形,求⊙O的半径r的取值范围.
【回答】
(1)AB=AC(2)≤r<5
【解析】
(1)连接,根据切线的*质和垂直得出,推出,求出,根据等腰三角形的判定推出即可;
(2)根据已知得出在的垂直平分线上,作出线段的垂直平分线,作,求出,求出范围,再根据相离得出,即可得出*.
【详解】
(1)AB=AC,理由如下:
如图1,连结OB.
∵AB切⊙O于B,OA⊥AC,
∴∠OBA=∠OAC=90°,
∴∠OBP+∠ABP=90°,∠ACP+∠APC=90°,
∵OP=OB,
∴∠OBP=∠OPB,
∵∠OPB=∠APC,
∴∠ACP=∠ABC,
∴AB=AC;
(2)如图2,作出线段AC的垂直平分线MN,作OE⊥MN,则可以推出;
又∵圆O与直线MN有交点,
∴,
,
,
r2≥5,
∴,
又∵圆O与直线l相离,
∴r<5,
即.
图1 图2
【点睛】
本题考查了等腰三角形的*质和判定、直线与圆的位置关系等知识点的应用,主要培养学生运用*质进行推理和计算的能力.本题综合*比较强,有一定的难度.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题