如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A...
问题详情：
如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径，BD与AC相交于点H，AC的延长线与过点B的直线相交于点E，且∠A=∠EBC．
（1）求*：BE是⊙O的切线；
（2）已知CG∥EB，且CG与BD、BA分别相交于点F、G，若BG•BA=48，FG=
，DF=2BF，求AH的值．
【回答】
（1）*见解析；（2）
．
【解析】
（1）欲*BE是⊙O的切线，只要*∠EBD=90°．
（2）由△ABC∽△CBG，得
求出BC，再由△BFC∽△BCD，得
=BF•BD求出BF，CF，CG，GB，再通过计算发现CG=AG，进而可以*CH=CB，求出AC即可解决问题．
【详解】
（1）连接CD，
∵BD是直径，
∴∠BCD=90°，即∠D+∠CBD=90°，
∵∠A=∠D，∠A=∠EBC，
∴∠CBD+∠EBC=90°，
∴BE⊥BD，
∴BE是⊙O切线．
（2）∵CG∥EB，
∴∠BCG=∠EBC，
∴∠A=∠BCG，
∵∠CBG=∠ABC
∴△ABC∽△CBG，
∴
，即
=BG•BA=48，
∴BC=
，
∵CG∥EB，
∴CF⊥BD，
∴△BFC∽△BCD，
∴
=BF•BD，
∵DF=2BF，
∴BF=4，
在RT△BCF中，CF=
=
，
∴CG=CF+FG=
，
在RT△BFG中，BG=
=
，
∵BG•BA=48，
∴BA=
，即AG=
，
∴CG=AG，
∴∠A=∠ACG=∠BCG，∠CFH=∠CFB=90°，
∴∠CHF=∠CBF，∴CH=CB=
，
∵△ABC∽△CBG，
∴
，
∴AC=
=
，
∴AH=AC﹣CH=
．
【点睛】
*切线常用方法为链接切点与圆心，通过角的代换或者全等，平行等来*直角．并且构造直径所对的圆周角是常见找直角的方法．灵活运用圆周角定理找等角及相似三角形．
知识点：点和圆、直线和圆的位置关系
题型：解答题
