已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
问题详情：
已知函数f(x)=ax3+3x2-x+1在R上是减函数，求a的取值范围.
【回答】
解：f′(x)=3ax2+6x-1.
(1)当f′(x)<0(x∈R)时，f(x)是减函数.
3ax2+6x-1<0(x∈R)
a<0且Δ=36+12a<0
a<-3.
所以，当a<-3时，由f′(x)<0,知f(x)(x∈R)是减函数.
(2)当a=-3时，f(x)=-3x3+3x3-x+1=-3(x-
)3+
,由函数y=x3在R上的单调*，可知当a=-3时，f(x)(x∈R)是减函数.
(3)当a>-3时，在R上存在一个区间，其上有f′(x)>0,所以，当a>-3时，函数f(x)(x∈R)不是减函数.综上，所求a的取值范围是(-∞,-3］.
知识点：导数及其应用
题型：解答题
