如图,已知矩形中,,点是的中点,将沿折起到的位置,使二面角是直二面角.(1)*:平面;(2)求二面角的余弦值...
问题详情:
如图,已知矩形中,,点是的中点,将沿折起到的位置,使二面角是直二面角.
(1)*:平面;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
【详解】(1)∵,点是的中点,
∴,都是等腰直角三角形,
∴,即..
又∵二面角是直二面角,即平面平面,
平面平面,平面,
∴平面,
又∵平面,
∴,
又∵,平面,,
∴平面.
(2)如图,取的中点,连接,
∵,∴,
∵平面平面,平面平面,
平面,
∴平面,
过点作,交于,
∵,∴,
以,,所在直线为轴、轴、轴,建立如图所示坐标系,
则,,,,
∴,,,
设为平面的一个法向量,则
,即,取,则,∴,
又平面,∴为平面的一个法向量,
所以,即二面角的余弦值为.
【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用,需要注意以下问题:
(1)求解本题要注意两点:一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角,二是利用方程思想进行向量运算,要认真细心,准确计算.
(2)设分别为平面α,β的法向量,则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题