如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.(1)当...
问题详情:
如图,设P是圆x2+y2=25上的动点,点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|.
(1)当P在圆上运动时,求点M的轨迹C的方程;
(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的长度.
【回答】
(1)设点M的坐标是(x,y),点P的坐标是(xP,yP),因为点D是P在x轴上的投影,M为PD上一点,且|MD|=|PD|,所以xP=x,且yP=y,
∵P在圆x2+y2=25上,∴x2+(y)2=25,整理得+=1,
即点M的轨迹C的方程是+=1.
(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程是y=(x-3),
设此直线与C的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),将直线方程y=(x-3)代入C的方程+=1得:
+=1,化简得x2-3x-8=0,
∴x1+x2=3,x1x2=-8,
|x1-x2|==,
所以线段AB的长度是|AB|=
==
=,即所截线段的长度是.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题