如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB...

问题详情：

如图，直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，P是该直线上的任一点，过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，则四边形PEDF面积的最小值为(   )

A．                    B．                       C．2                     D．

【回答】

A

【分析】

连接DP，根据直线与坐标轴的交点，得出A，B的坐标，求出AB的长，即可得出⊙P的半径，*△PED≌△PFD，可得四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE，当DP⊥AP时，四边形PEDF的面积最小，利用三角函数求出DP的长，即可求得*.

【详解】

如图，连接DP，

∵直线y＝x+1与x轴、y轴分别相交于A、B两点，

当x＝0时，y＝1，当y＝0时，x＝﹣2，

∴A(﹣2，0)，B(0，1)，

∴AB＝=，

∵过点D(3，0)向以P为圆心，AB为半径的⊙P作两条切线，切点分别为E、F，

∴DE＝DF，PE⊥DE，

∵PE＝PF，PD＝PD，

∴△PED≌△PFD(SSS)，

∵⊙P的半径为，

∴DE＝，

当DP⊥AP时，DP最小，此时DP＝AD•sin∠BAO＝5×，

∵四边形PEDF面积＝2S△PED＝2×PE×DE＝DE，

∴四边形PEDF面积的最小值为．

故选A．

【点睛】

本题考查了圆的切线的*质，勾股定理，全等三角形的判定，三角函数的应用等，熟练掌握相关内容是解题的关键.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：选择题