已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.(1)*:an...

问题详情：

已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,an≠0,anan+1=λSn-1,其中λ为常数.

(1)*:an+2-an=λ;

(2)是否存在λ,使得{an}为等差数列?并说明理由.

【回答】

 (1)*:由题设,anan+1=λSn-1,an+1an+2=λSn+1-1.

两式相减得an+1(an+2-an)=λan+1.

由于an+1≠0,所以an+2-an=λ.

(2)解:存在满足题意的λ,

由题设,a1=1,a1a2=λS1-1,可得a2=λ-1.

由(1)知,a3=λ+1,

令2a2=a1+a3,解得λ=4.

故an+2-an=4,由此可得

{a2n-1}是首项为1,公差为4的等差数列,a2n-1=4n-3;

{a2n}是首项为3,公差为4的等差数列,a2n=4n-1.

所以an=2n-1,an+1-an=2.

因此存在λ=4,使得数列{an}为等差数列.

知识点：数列

题型：解答题