已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn＞0（n∈...

问题详情：

已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），等差数列{bn}中bn＞0（n∈N*），且b1+b2+b3=15，又a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列．

（Ⅰ）求数列{an}、{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{an•bn}的前n项和Tn．

【回答】

【考点】8E：数列的求和；81：数列的概念及简单表示法．

【分析】本题是数列中的一道综合题，（1）的求解要利用恒等式an+1=2Sn+1构造出an=2Sn﹣1+1两者作差得出an+1=3an，此处是的难点，数列的{bn}的求解根据题意列出方程求d，即可，

（II）中数列求和是一个典型的错位相减法求和技巧的运用．

【解答】解：（Ⅰ）∵a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*），

∴an=2Sn﹣1+1（n∈N*，n＞1），

∴an+1﹣an=2（Sn﹣Sn﹣1），

∴an+1﹣an=2an，

∴an+1=3an（n∈N*，n＞1）

而a2=2a1+1=3=3a1，

∴an+1=3an（n∈N*）

∴数列{an}是以1为首项，3为公比的等比数列，

∴an=3n﹣1（n∈N*）

∴a1=1，a2=3，a3=9，

在等差数列{bn}中，

∵b1+b2+b3=15，

∴b2=5．

又因a1+b1、a2+b2、a3+b3成等比数列，设等差数列{bn}的公差为d，

∴（1+5﹣d）（9+5+d）=64

解得d=﹣10，或d=2，

∵bn＞0（n∈N*），

∴舍去d=﹣10，取d=2，

∴b1=3，

∴bn=2n+1（n∈N*），

（Ⅱ）由（Ⅰ）知Tn=3×1+5×3+7×32++（2n﹣1）3n﹣2+（2n+1）3n﹣1①

3Tn=3×3+5×32+7×33++（2n﹣1）3n﹣1+（2n+1）3n②

①﹣②得﹣2Tn=3×1+2×3+2×32+2×33++2×3n﹣1﹣（2n+1）3n

=3+2（3+32+33++3n﹣1）﹣（2n+1）3n

=，

∴Tn=n•3n

知识点：数列

题型：解答题