设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f...
问题详情:
设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图象与y轴交点的纵坐标为1,被x轴截得的线段长为2,求f(x)的解析式.
【回答】
解:法一 设f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
由f(x-2)=f(-x-2)得4a-b=0; ①
又因为|x1-x2|==2,
所以b2-4ac=8a2; ②
又由已知得c=1. ③
由①②③解得b=2,a=,c=1,
所以f(x)=x2+2x+1.
法二 因为f(x-2)=f(-x-2),
故y=f(x)的图象有对称轴x=-2,可设y=a(x+2)2+k,
当x=0时,y=4a+k=1.
y=0时,a(x+2)2+k=0,即ax2+4ax+4a+k=0.
得ax2+4ax+1=0,x1+x2=-4,x1·x2=,
|x1-x2|===2.
a=,k=-1.
所以f(x)=(x+2)2-1,即f(x)=x2+2x+1.
法三 因为y=f(x)的图象有对称轴x=-2,
又|x1-x2|=2,
所以y=f(x)的图象与x轴的交点为(-2-,0),(-2+,0).故可设f(x)=a(x+2+)(x+2-).
因为f(0)=1,所以a=.
所以f(x)=[(x+2)2-2]=x2+2x+1.
知识点:*与函数的概念
题型:解答题