如图7,抛物线y=-x2+2x的对称轴与x轴交于点A,点F在抛物线的对称轴上,且点F的纵坐标为.过抛物线上一点...
问题详情:
如图7,抛物线y=-x2+2x的对称轴与x轴交于点A,点F在抛物线的对称轴上,且点F的纵坐标为.过抛物线上一点P(m,n)向直线y=作垂线,垂足为M,连结PF. (1)当m=2时,求*:PF=PM;
(2)当点P为抛物线上任意一点时,PF=PM是否还成立?若成立,请给出*;若不成立,请说明理由.
【回答】
解:(1)当m=2时,n=-22+2×2=0.
∴此时点P为抛物线与x轴的右交点.
∵PM⊥直线y=,
∴PM=. ………………………………………………2分
∵y=-x2+2x的对称轴为直线x=1,点F的纵坐标为,
∴F(1,). ……………………………………………3分
在△FAP中,∠FAP=90°,
∴PF=.
∴PF=PM. ………………………………………………4分
(2)PF=PM仍然成立.理由如下:…………5分
过点P作PB⊥AF于点B.
当点B与点F重合时,n=,
∴-m2+2m=,解得,m=或.……6分
∴PF=,
∵PM=-=.
∴PF=PM. …………………………………7分
当点B与点F不重合时,如图.
∴BF=,BP=. ……………………………………8分
在△BFP中,∠PBF=90°,
∴PF2=BF2+BP2.
PF2=+=.……………9分
∵点P(m,n)在抛物线上,
∴,
∴PF2==.
∵PM⊥直线y=,P(m,n),
∴PM2=(n-)2=.
∴PF2=PM2.
∴PF=PM.
综上,点P为抛物线y=-x2+2x上任意一点都有PF=PM. ………10分
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:解答题