如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E...

问题详情：

如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)连接CB交EF于点M，连接AM交OC于点R，连接AC，求△ACR的周长；

(3)设G(4，－5)在该抛物线上，P是y轴上一动点，过点P作PH⊥EF于点H，连接AP，GH，问AP＋PH＋HG是否有最小值？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

【回答】

解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，

∴C点坐标为(0，3)，E点坐标为(2，3)．

将C、E点坐标代入抛物线解析式y＝－x2＋bx＋c得：

，解得.

∴抛物线的解析式为：y＝－x2＋2x＋3；

(2)由(1)得y＝－x2＋2x＋3，

令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，

解得x1＝－1，x2＝3，

∴A(－1，0)，B(3，0)，

∵AO＝1，CO＝3，

∴在Rt△AOC中，

AC＝＝，

∵CO＝BO＝3，

∴∠OBC＝∠OCB＝45°，

∴FM＝BF＝1，

∵RO∥MF，∠RAO＝∠MAF，

∴△ARO∽△AMF，

∴＝，即＝，

解得RO＝，

∴CR＝OC－OR＝3－＝，

AR＝＝＝，

∴△ACR的周长为：AC＋CR＋AR＝＋＋＝；

（3）如解图①，取OF中点A′，连接A′G交直线EF的延长线于点H，过点H作HP′⊥y轴于点P′，连接AP′，

第12题解图①

则当P在P′处时，使AP＋PH＋HG最小，

∵A′为OF中点，

∴A′坐标为(1，0)，

设直线A′G的解析式为y＝kx＋a，

将点G(4，－5)，A′(1，0)分别代入得

，解得：，

∴直线A′G的解析式为：y＝－x＋.

令x＝2，得y＝－＋＝－，

∴点H的坐标为(2，－)，

∴符合题意的点P的坐标为(0，－)．

知识点：相似三角形

题型：综合题