定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,(1)求f(0...

问题详情：

定义域为R的单调函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y)(x,y∈R),且f(3)=6,

(1)求f(0),f(1);

(2)判断函数f(x)的奇偶*,并*;

(3)若对于任意x∈[,3]都有f(kx2)+f(2x-1)<0成立,求实数k的取值范围.

【回答】

解:(1)f(0)=0,f(1)=2.

(2)函数f(x)是奇函数.

*:由(1)f(0)=0,

所以f(0)=f(x)+f(-x)=0,

即f(-x)=-f(x),

所以f(x)为奇函数.

(3)因为f(x)是奇函数,且f(kx2)+f(2x-1)<0在x∈[,3]上恒成立,

所以f(kx2)<f(1-2x)在x∈[,3]上恒成立,

又因为f(x)是定义域为R的单调函数,

且f(0)=0<f(1)=2,

所以f(x)是R上的增函数.

所以kx2<1-2x在x∈[,3]上恒成立.

所以k<()2-2()在x∈[,3]上恒成立.

令g(x)=()2-2()=(-1)2-1,

由于≤x≤3,

所以≤≤2.

所以g(x)min=g(1)=-1.所以k<-1.

所以实数k的取值范围为(-∞,-1).

知识点：*与函数的概念

题型：解答题