在实数集R上定义运算： （Ⅰ）求F(x)的解析式；（Ⅱ）若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；（Ⅲ）...

问题详情：

 在实数集R上定义运算：

（Ⅰ）求F(x)的解析式；

（Ⅱ）若F(x)在R上是减函数，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）若a=－3，在F(x)的曲线上是否存在两点，使得过这两点的切线互相垂直？若存在，求出切线方程；若不

存在，说明理由.

【回答】

 解析：（I）由题意，F(x)=f(x) (a－g(x))…

=ex(a－e－x－2x2)

=aex－1－2x2ex.…

    （II）∵F′(x)=aex－2x2ex－4xex=－ex(2x2+4x－a)，      

    当x∈R时，F(x)在减函数，

∴F′(x)≤0对于x∈R恒成立，即

     －ex(2x2+4x－a)≤0恒成立，          ∵ex>0，

∴2x2+4x－a≥0恒成立，

∴△=16－8(－a) ≤0，

∴a≤－2.

（III）当a=－3时，F(x)= －3ex－1－2x2ex，

     设P(x1，y1)，Q（x2，y2）是F(x)曲线上的任意两点，

∵F′(x)= －ex(2x2+4x+3)=－ex[2(x+1)2+1]<0，

∴ F′(x1)·F′(x2)>0，

∴F′(x1)·F′(x2)= －1 不成立

∴F(x)的曲线上不存的两点，使得过这两点的切线点互相垂直.  

知识点：基本初等函数I

题型：解答题