（2019·湖北中考模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点．（1）求*：∠P＝180...

问题详情：

（2019·湖北中考模拟）如图，PA、PB是⊙O的切线，A，B为切点，D为⊙O上一点．

（1）求*：∠P＝180°﹣2∠D；

（2）如图，PE∥BD交AD于点E，若DE＝2AE，tan∠OPE＝，⊙O的半径为2，求AE的长．

【回答】

（1）*见解析；（2）4

【解析】

（1）*：如图1，连接OA，OB，

∵PA，PB为⊙O的切线，

∴∠OAP＝∠OBP＝90°，

∴∠P＝360°﹣90°﹣90°﹣∠AOB＝180°﹣∠AOB，

∵∠AOB＝2∠D，

∴∠P＝180°﹣2∠D；

（2）

如图2，过点O作OG⊥AD，连接OB，OE，连接OA交PE于点F

由（1）得，∠OPA＝90°﹣∠D

OB⊥PB；OA⊥PA

∴∠POA＝180°﹣90°﹣∠OPA＝∠D

又∵PE∥BD，

∴∠D＝∠PEA

∴∠PEA＝∠POA

∵∠PFO＝∠EFA

∴△OPF∽△EFA

∴∠OPE＝∠OAD

∴tan∠OAD＝tan∠OPE＝

∴OG＝AG

∴在△OAG中，由勾股定理得

AG2+OG2＝OA2⇒，解得AG＝6

∴AD＝12

又∵DE＝2AE

∴AE＝AD＝×12＝4

【点睛】

此题主要考查圆的切线的*质，相似三角形的*质，勾股定理．灵活运用相似三角形边的比例关系是解题的关键．在做涉及圆的题目中，作好辅助线是解题的突破口．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题