如图,四棱台中,底面是菱形,底面,且,,是棱的中点.(1)求*:;(2)求二面角的余弦值.
问题详情:
如图,四棱台中,底面是菱形,底面,且,,是棱的中点.
(1)求*:;
(2)求二面角的余弦值.
【回答】
【详解】*:(1)因为⊥底面ABCD,所以⊥BD.
因为底面ABCD是菱形,所以BD⊥AC.
又AC∩CC1=C,所以BD⊥平面A.
又由四棱台ABCD﹣知,,A,C,四点共面.
所以BD⊥.
(2)如图,设AC交BD于点O,依题意,∥OC且=OC,
所以O∥C,且O=C.所以O⊥底面ABCD.
以O为原点,OA、OB、OA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
则,
由,得B1().
因为E是棱BB1的中点,所以E(),所以(),(﹣2,0,0).
设(x,y,z)为平面的法向量,
则,取z=3,得(0,4,3),
平面的法向量(0,1,0),
又由图可知,二面角E﹣A1C1﹣C为锐二面角,
设二面角E﹣A1C1﹣C的平面角为θ,
则cosθ,
所以二面角E﹣A1C1﹣C的余弦值为.
【点睛】本题考查线线垂直的*,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.
知识点:点 直线 平面之间的位置
题型:解答题