已知曲线C的方程为ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a为常数).(1)判断曲线C的形状;(2)设曲线...
问题详情:
已知曲线C的方程为ax2+ay2-2a2x-4y=0(a≠0,a为常数).
(1)判断曲线C的形状;
(2)设曲线C分别与x轴,y轴交于点A,B(A,B不同于原点O),试判断△AOB的面积S是否为定值?并*你的判断;
(3)设直线l:y=-2x+4与曲线C交于不同的两点M,N,且|OM|=|ON|,求曲线C的方程.
【回答】
解:(1)将曲线C的方程化为x2+y2-2ax-y=0⇒(x-a)2+(y-)2=a2+,
可知曲线C是以点(a,)为圆心,以为半径的圆.
(2)△AOB的面积S为定值.
*如下:在曲线C的方程中令y=0,得ax(x-2a)=0,得点A(2a,0),
在曲线C方程中令x=0,
得y(ay-4)=0,
得点B(0,),
所以S=|OA|·|OB|=·|2a|·||=4(定值).
(3)因为圆C过坐标原点,
且|OM|=|ON|,
所以OC⊥MN,
所以=,
所以a=±2.
当a=-2时,圆心坐标为(-2,-1),圆的半径为.
圆心到直线l:y=-2x+4的距离
d==>,
直线l与圆C相离,不合题意舍去,
a=2时符合题意.
这时曲线C的方程为x2+y2-4x-2y=0.
知识点:圆与方程
题型:综合题