设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R....

问题详情：

设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.

(1)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；

(2)设g(x)＝f′(x)e－x，求函数g(x)的极值．

【回答】

解：(1)由于f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

则解得

所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，f′(x)＝3x2－3x－3.

于是有f(1)＝－.又f′(1)＝－3，

故曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－＝－3(x－1)，

即6x＋2y－1＝0.

(2)由(1)知g(x)＝(3x2－3x－3)e－x，

则g′(x)＝(－3x2＋9x)e－x，

令g′(x)＝0得x＝0或x＝3，

当x≤0或x≥3时，g′(x)≤0，

当0≤x≤3时，g′(x)≥0，于是函数g(x)在(－∞，0]上单调递减，在[0,3]上单调递增，在[3，＋∞)上单调递减．

所以函数g(x)在x＝0处取得极小值g(0)＝－3，在x＝3处取得极大值g(3)＝15e－3.

知识点：导数及其应用

题型：解答题