已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex(x∈R，e为自然对数的底数)．(1)当a＝2时，求函数f(x)...

问题详情：

已知a∈R，函数f(x)＝(－x2＋ax)ex (x∈R，e为自然对数的底数)．

(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调递增区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围．

【回答】

. (1)当a＝2时，f(x)＝(－x2＋2x)ex，

∴f′(x)＝(－2x＋2)ex＋(－x2＋2x)ex＝(－x2＋2)ex.

令f′(x)＞0，即(－x2＋2)ex＞0，

∵ex＞0，∴－x2＋2＞0，解得－＜x＜.

∴函数f(x)的单调递增区间是(－，)．

(2)∵函数f(x)在(－1,1)上单调递增，

∴f′(x)≥0对x∈(－1,1)都成立．

∵f′(x)＝(－2x＋a)ex＋(－x2＋ax)ex

＝[－x2＋(a－2)x＋a]ex，

∴[－x2＋(a－2)x＋a]ex≥0对x∈(－1,1)都成立．

∵ex＞0，

∴－x2＋(a－2)x＋a≥0对x∈(－1,1)都成立．

即a≥＝x＋1－对x∈(－1,1)都成立．

令y＝x＋1－，则y′＝1＋＞0，

∴y＝x＋1－在(－1,1)上单调递增，

∴y＜1＋1－＝，∴a≥.

知识点：基本初等函数I

题型：解答题