如图1,二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一...
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如图1,二次函数的图象与一次函数y=kx+b(k≠0)的图象交于A,B两点,点A的坐标为(0,1),点B在第一象限内,点C是二次函数图象的顶点,点M是一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与x轴的交点,过点B作x轴的垂线,垂足为N,且S△AMO:S四边形AONB=1:48.
(1)求直线AB和直线BC的解析式;
(2)点P是线段AB上一点,点D是线段BC上一点,PD//x轴,*线PD与抛物线交于点G,过点P作PE⊥x轴于点E,PF⊥BC于点F,当PF与PE的乘积最大时,在线段AB上找一点H(不与点A,点B重合),使GH+BH的值最小,求点H的坐标和GH+BH的最小值;
(3)如图2,直线AB上有一点K(3,4),将二次函数沿直线BC平移,平移的距离是t(t≥0),平移后抛物线使点A,点C的对应点分别为点A’,点C’;当△A’C’K是直角三角形时,求t的值。
【回答】
解:(1)C(2,-1).
由S△AMO:S四边形AONB=1:48,可得由S△AMO:S△BMN=1:49,
所有BN=7,带入二次函数解析式可得B(6,7)。
所以yAB=x+1,yBC=2x-5.
(2)设点P(x0,x0+1),则D(,x0+1),则PE=x0+1,PD=3-0.5x0,
由于△PDF相似△BGN,所以PF:PD的值固定,于是最大时,也最大,
=(x0+1)(3-0.5x0)=,所以当x0=2.5时,最大,即最大。
此时G(5,3.5)
可得△MNB是等腰直角三角形,过B作x轴的平行线,则BH=B1H,
GH+BH的最小值转化为求GH+HB1的最小值,
所以当GH和HB1在一条直线上时,GH+HB1的值最小,此时H(5,6),最小值为7-3.5=3.5
(3)令直线BC与x轴交于点I,则I(2.5,0)于是IN=3.5,IN:BN=1:2,
所以沿直线BC平移时,横坐标平移m时,纵坐标则平移2m,平移后A’(m,1+2m),C’(2+m,-1+2m),
则A’C’2=8,A’K2=5m2-18m+18,C’K2=5m2-22m+26,
当∠A’KC’=90°时,A’K2+KC’2=A’C’2,解得m=,此时t=;
‚当∠KC’A’=90°时,KC’2+A’C’2=A’K2,解得m=4,此时t=;
ƒ当∠KA’C’=90°时,A’C’2+A’K2=KC’2,解得m=0,此时t=0
知识点:各地中考
题型:综合题