已知抛物线 y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B两点.(Ⅰ)求m的取值范围;(Ⅱ)若m＜0,且...

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已知抛物线 y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B两点. (Ⅰ)求m的取值范围; (Ⅱ)若m＜0,且点A在点B的左侧,OA:OB=3:1,试确定抛物线的解析式; (Ⅲ)设(Ⅱ)中抛物线与y轴的交点为C,过点C作直线l∥x轴,将抛物线在y轴右侧的部分沿直线l翻折,抛物线的其余部分保持不变,得到一个新图象.当直线y＝－x＋b与新图象只有一个公共点P(x0,y0)且 y0≥－5时,求b的取值范围.

【回答】

解:(Ⅰ)∵抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴交于A、B两点, ∴, 由①得m≠1, 由②得m≠0, ∴m的取值范围是m≠0且m≠1;   (Ⅱ)∵点A、B是抛物线y=(m－1)x2＋(m－2)x－1与x轴的交点, ∴令y=0,即 (m－1)x2＋(m－2)x－1=0. 解得 x1=－1,x2＝. ∵m＜0, ∴−1＜＜0. ∵点A在点B左侧, ∴点A的坐标为(－1,0),点B的坐标为(,0). ∴OA=1,OB=. ∵OA:OB=3:1, ∴＝. ∴m＝－2. ∴抛物线的解析式为y＝－3x2−4x−1.    (Ⅲ)∵点C是抛物线y＝－3x2−4x−1与y轴的交点, ∴点C的坐标为(0,－1). 依题意翻折后的图象如解图所示. 令y=－5,即－3x2−4x−1＝－5. 解得x1=,x2=－2. ∴新图象经过点D(－2,－5). 当直线y＝－x＋b经过D点时,可得b=－7. 当直线y＝－x＋b经过C点时,可得b=－1. 当直线y＝－x＋b(b＞−1)与函数y＝－3x2−4x−1的图象仅有一个公共点P(x0,y0)时,得－x0＋b＝－3x02−4x0−1. 整理得 3x02＋3x0＋b＋1＝0. 由32－12(b＋1)=－12b－3=0,得b＝−. 结合图象可知,符合题意的b的取值范围为－7≤b＜－1或b＞−.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：综合题