已知函数.(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;(Ⅱ)当时,求*:;(Ⅲ)设,记在区间上的最大值为M(a),当M(...
问题详情:
已知函数.
(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)当时,求*:;
(Ⅲ)设,记在区间上的最大值为M(a),当M(a)最小时,求a的值.
【回答】
(Ⅰ)和.
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ).
【分析】
(Ⅰ)首先求解导函数,然后利用导函数求得切点的横坐标,据此求得切点坐标即可确定切线方程;
(Ⅱ)由题意分别*得和即可*得题中的结论;
(Ⅲ)由题意结合(Ⅱ)中的结论分类讨论即可求得a的值.
【详解】
(Ⅰ),令得或者.
当时,,此时切线方程为,即;
当时,,此时切线方程为,即;
综上可得所求切线方程为和.
(Ⅱ)设,,令得或者,所以当时,,为增函数;当时,,为减函数;当时,,为增函数;
而,所以,即;
同理令,可求其最小值为,所以,即,综上可得.
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,
所以是中的较大者,
若,即时,;
若,即时,;
所以当最小时,,此时.
【点睛】
本题主要考查利用导函数研究函数的切线方程,利用导函数*不等式的方法,分类讨论的数学思想等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
知识点:导数及其应用
题型:解答题