已知函数，，，其中，且.（Ⅰ）当时，求函数的最大值； （Ⅱ）求函数的单调区间；（III）设函数若对任意给...
问题详情：
已知函数
，
，
，其中
，且
.
（Ⅰ）当
时，求函数
的最大值；
（Ⅱ）求函数
的单调区间；
（III）设函数
若对任意给定的非零实数
，存在非零实数
（
），使得
成立，求实数
的取值范围.
【回答】
解：⑴当
时，
∴
令
，则
， ∴
在
上单调递增，在
上单调递减
∴
⑵
，
，（
）
∴当
时，
，∴函数
的增区间为
，
当
时，
，
当
时，
，函数是减函数；当
时，，函数是增函数。
综上得，当时，
的增区间为
；
当
时，的增区间为
，减区间为
⑶当
，
在上是减函数，此时
的取值*
；
当
时，
，
若
时，
在
上是增函数，此时
的取值*
；
若时，在
上是减函数，此时的取值*
。
对任意给定的非零实数
，
①当时，∵在上是减函数，则在
上不存在实数
（
），使得
，则
，要在上存在非零实数
（
），使得
成立，必定有
，∴
；
②当时，在
时是单调函数，则
，要在上存在非零实数（），使得成立，必定有
，∴。
综上得，实数
的取值范围为。
知识点：导数及其应用
题型：解答题
