已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．
问题详情：
已知函数
．
（Ⅰ）求曲线
的斜率等于
的切线方程；
（Ⅱ）设曲线
在点
处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为
，求
的最小值．
【回答】
（Ⅰ）
，（Ⅱ）
.
【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据导数的几何意义可得切点的坐标，然后由点斜式可得结果；
（Ⅱ）根据导数的几何意义求出切线方程，再得到切线在坐标轴上的截距，进一步得到三角形的面积，最后利用导数可求得最值.
【详解】（Ⅰ）因为
，所以
，
设切点为
，则
，即
，所以切点为
，
由点斜式可得切线方程
：
，即
.
（Ⅱ）显然
，
因为
在点
处的切线方程为：
，
令
，得
，令
，得
，
所以
，
不妨设
时，结果一样
，
则
，
所以
，
由
，得
，由
，得
，
所以
在
上递减，在
上递增，
所以
时，
取得极小值，
也是最小值为
.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义求切线方程，考查了利用导数求函数的最值，属于中档题.
知识点：高考试题
题型：解答题
