如图,函数y=(k为常数,k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点...
问题详情:
如图,函数y=(k为常数,k>0)的图象与过原点的O的直线相交于A,B两点,点M是第一象限内双曲线上的动点(点M在点A的左侧),直线AM分别交x轴,y轴于C,D两点,连接BM分别交x轴,y轴于点E,F.现有以下四个结论:
①△ODM与△OCA的面积相等;②若BM⊥AM于点M,则∠MBA=30°;③若M点的横坐标为1,△OAM为等边三角形,则k=2+;④若MF=MB,则MD=2MA.
其中正确的结论的序号是 .(只填序号)
【回答】
①③④
【分析】①设点A(m,),M(n,),构建一次函数求出C,D坐标,利用三角形的面积公式计算即可判断.
②△OMA不一定是等边三角形,故结论不一定成立.
③设M(1,k),由△OAM为等边三角形,推出OA=OM=AM,可得1+k2=m2+,推出m=k,根据OM=AM,构建方程求出k即可判断.
④如图,作MK∥OD交OA于K.利用平行线分线段成比例定理解决问题即可.
【解答】解:①设点A(m,),M(n,),
则直线AC的解析式为y=﹣x++,
∴C(m+n,0),D(0,),
∴S△ODM=n×=,S△OCA=(m+n)×=,
∴△ODM与△OCA的面积相等,故①正确;
∵反比例函数与正比例函数关于原点对称,
∴O是AB的中点,
∵BM⊥AM,
∴OM=OA,
∴k=mn,
∴A(m,n),M(n,m),
∴AM=(n﹣m),OM=,
∴AM不一定等于OM,
∴∠BAM不一定是60°,
∴∠MBA不一定是30°.故②错误,
∵M点的横坐标为1,
∴可以假设M(1,k),
∵△OAM为等边三角形,
∴OA=OM=AM,
1+k2=m2+,
∴m=k,
∵OM=AM,
∴(1﹣m)2+=1+k2,
∴k2﹣4k+1=0,
∴k=2,
∵m>1,
∴k=2+,故③正确,
如图,作MK∥OD交OA于K.
∵OF∥MK,
∴==,
∴=,
∵OA=OB,
∴=,
∴=,
∵KM∥OD,
∴==2,
∴DM=2AM,故④正确.
故*为①③④.
知识点:各地中考
题型:填空题